黃慶民
2011年04月15日
摘要
「勇氣」是一種工程計算方法，屬於「理論解」而非數值解，能夠運用於模擬工程領域之問題，藉以作為工程設計之用途。
背景
在有限元素法被發明後，工程領域在發展工程計算方法上，已進入較為成熟穩健之階段。然而，有限元素分析結果卻往往不盡合於工程設計者之意，其分析結果之準確性仍在改進之中。「勇氣」是一種工程計算方法，屬於「理論解」而非數值解，能夠運用於模擬工程領域之問題，藉以作為工程設計之用途。「勇氣」工程計算方法之優點，在於工程師若能準確定義工程問題之變形曲線或變形曲面，將能夠用於求解任意工程問題。
有限元素法對於工程師之要求，乃是其對於工程問題必須有基本概念，方得以進行工程問題之有限元素分析。「勇氣」亦是需要工程師對於工程問題必須有基本概念，而且對於工程師之要求還高於有限元素法，因為工程師必須對於其分析之工程問題有相當程度之概念，亦即曾經看過類似工程問題之照片、影像或資料，幾乎能夠掌握工程問題之變形曲線和變形曲面，方能使用「勇氣」工程計算方法。
以有限元素法來說，若是工程師對於工程問題不具備基本概念，工程分析結果錯誤亦是不得而知，其問題乃是難以判斷是工程模型錯誤、邊界條件設置不當、元素選擇錯誤、網格生成不佳或有限元素軟體本身之問題。因此，「勇氣」雖然對工程師要求較高，但是其目的仍和有限元素法相同，即在於避免工程分析結果錯誤。簡單而論，有限元素法乃是「向後」推算結果，「勇氣」工程計算方法是「向前」推算結果。
理論
「勇氣」是一種工程計算方法，以預先給定之變形曲線或變形曲面方程式，在計算其各方向之軸應變和剪應變，再根據荷載之動能（a）或功（b）和物體應變能（c）建立等式，即可獲得理論能量等值公式。之後，透過數值方法求解方程式，以試誤法程序反覆計算欲求之尺寸變數，再藉由材料應力作為控制方程之依據，最終即可獲得尺寸變數之解。
理論推導範例
以下，以一高速球體撞擊圓板之計算為例，並為求精簡過程乃簡化理論推導。其中，衝擊動能得以動能公式表示為
假設圓板後側支撐物體為柔性實體，在經球體正向撞擊圓板後，圓板塑性變形曲線符合在均值μ=0之高斯分布曲線，在未經適當比例放大前，其塑性變形曲線方程式得表示為
在圓板產生塑性變形後，假設其中點容許產生之最大變形值為δ，則其比例放大倍數為
根據上式比例放大倍數，則圓板理論塑性變形曲線方程式得表示為
圓板塑性變形曲線得對dx作二次微分，以取得塑性變形曲線之曲率κ，並經求其倒數以取得其曲率半徑，則塑性變形曲線之曲率半徑得表示為
在不考慮正向壓縮圓板下，以相對保守方式對於整體應變能做取捨，而忽略壓縮應變ϵ_y對圓板提供之應變能貢獻。假設圓板中性軸距外緣y，在根據上式定義之曲率半徑ρ，並由於雙向對稱之應變相同，得定義其縱、橫向應變ϵ_x、ϵ_z為
圓板遭球體貫穿剪力應變，集中於球體之投影面上極小之區域，對於圓板其他區域之應變能貢獻極小，忽略球體之投影面區域剪應變之應變能貢獻。圓板在底材上、下表層，考慮蒸鍍高硬度之鈦合金化合物，以作為共同抵抗球體衝擊力之材料，得以使圓板產生良好之塑性變形。在上式定義之圓板雙向應變下，得定義圓板應變能為
根據上式之圓板應變能和球體衝擊動能，得建立等值公式理論表達式為
上式經整理後，得重新表示為
上式即為「球體撞擊圓板理論計算公式」，是一道以「試誤法」進行計算之公式。
數值範例
以下，舉例說明上述公式該如何求解，並為避免數值誤差，一律採用N和mm作為理論公式之計算。圓板之塑性變形曲線，得以σ=6之高斯分布曲線做模擬。以AK47、M16及.45手槍實測球體衝擊能量2460J、1796J及835J，作為圓板設計球體衝擊力之目標，則理論計算公式有關於動能之項次3m_c v_c^2=14760J、10776J、5010J=14760000、10776000、5010000Nmm。
若是徽章能夠有擋子彈之能力，將能大幅提升佩掛者之勇氣，因而以下乃設計一個擁有擋子彈能力之徽章。在預先給定條件下，徽章直徑為44mm（R=22mm），底材為鑄造用鈦合金Ti6Al4V，其彈性模數為E_i=113.8GPa，蒲松比為ν=0.342，降伏強度為σ_y=880MPa，上、下表層蒸鍍厚度c=8μm之碳化鈦（TiC），其彈性模數為E_o=448GPa，莫氏硬度為Mohs=9.5。在徽章厚度設計過程中，需要進行反覆修正，並且驗證子彈寬度範圍內之外緣應力值，是否已經達到降伏強度，以確保子彈尚未貫穿徽章。經過多次試誤後，得獲知以下三組計算數據：
經求解得出，AK47、M16及.45手槍之徽章厚度，分別為t=13.079mm、15.081mm、1.788mm。在計算例中可知，AK47子彈能量雖然較M16大，但是子彈寬度亦較M16大，以致於其實際貫穿徽章難度較高，是其最終貫穿徽章能力低於M16之主因。.45手槍主要用於近距離射擊，其子彈能量低和子彈寬度大，皆是其貫穿徽章能力遠低於步槍AK47和M16之主因。在合理之徽章厚度採用上，可能以.45手槍作為設計目標，即可達成提升勇氣之目的。在為確保徽章確實能有效抵擋子彈之衝擊力，得以真槍實彈進行射擊模擬，並透過統計回歸修正理論和實測之差距，以獲得更為完善之徽章擋子彈設計結果。
工程應用
「勇氣」在使用於原本即有塑性變形之材料時，例如：沖壓製程，則應該評估其塑性變形量和殘餘應力，以降低計算採用之容許應力值，否則將由於沖壓導致材料產生內部塑性變形，致使高估其設計強度造成設計失敗之結果。
「勇氣」得發展為工程軟體進行計算，以縮短工程師計算所需之時間。「勇氣」工程軟體得建立常用和手動建立之變形曲線和變形曲面模組，以供工程師快速建立工程問題之理論能量等值公式，再透過內建之數值方法做反覆之試誤法求解，即可獲得反推初始假設變數之結果。「勇氣」在獲得求解之結果後，再根據應變方程式來計算其各區塊之應變量和應力值，即可呈現畫面給工程師檢查和確認。變形曲線和變形曲面之定義，乃根據曲線或曲面衍生而得，並透過工具功能產生線條之方程式定義，即可準確定義變形曲線和變形曲面方程式。
結論
「勇氣」是一種工程計算方法，是以預先給定之物體變形曲線或變形曲面建立能量等值公式，來反推初始假設變數之計算方法。
 | 球體衝擊動能（Nmm） |  | 球體質量（g） |
 | 球體速度（m/s） |  | 功（Nmm） |
 | 力（N） |  | 位移（mm） |
 | 球體寬度（mm） |  | 圓板應變能（Nmm） |
 | 圓板塑性變形曲線方程式（mm） |  | 圓板理論塑性變形曲線方程式（mm） |
 | 圓板塑性變形比例放大倍數，無單位 |  | 圓板塑性變形曲線參數（mm） |
 | 圓板最大中點塑性變形量（mm） |  | 圓板塑性變形曲線之曲率（mm^(-1)） |
 | 圓板中性軸距外緣（mm） |  | 圓板塑性變形曲線之曲率半徑（mm） |
 | 圓板縱、橫向應變，無單位 |  | 圓板底板蒲松比，無單位 |
 | 圓板底板材料彈性模數（N/mm^2） |  | 圓板蒸鍍材料彈性模數（N/mm^2） |
 | 圓板設計半徑（mm） |  | 圓板底板厚度（mm） |
 | 圓板蒸鍍厚度（mm） |
