在土木工程裡，會用到的網格生成，無論是建築、橋樑或其他結構，說起來就是由樑柱版牆組成。樑柱用樑元素，線要切成幾等份，要考慮到計算精度，來決定要把一條線變成幾段。除基礎底版較厚用版元素，版牆都是採用殼元素，也就是把平面或曲面切成一堆小三角形。要將平面切成一堆三角形，常見方法有Delaunay Criteria或Advancing Front Method。我比較清楚Delaunay Criteria，而Delaunay Criteria算是比較容易實作，也就是標準的2D Mesh。事實上，土木工程有曲面結構，都是屬於混凝土結構的範疇。要將曲面切成一堆三角形，最簡單的方法就是將幾何邊界投影到平面，然後以2D Mesh在平面上做網格生成，再以原曲面定義的幾何形狀方程式，去計算出每一個點座標（X, Y）對應的Z座標。所謂的幾何邊界投影到平面，就是把原本的曲面幾何形狀的每一個點座標，忽略掉Z座標僅取其點座標的（X, Y），然後當做是在平面上做2D Mesh。在網格生成領域內，有一個子領域叫做Surface Mesh，有不同於幾何邊界投影的方法，而是採用很多網格生成技術來產生網格。為什麼？
Surface Mesh可以產生任意曲面的網格，而土木上會用到的曲面網格生成，是專門就混凝土結構的曲面幾何問題。混凝土結構的曲面幾何，必然有比較多的幾何連續性限制，不一定要使用Surface Mesh的技術，而是在幾何連續性限制的條件下，以幾何邊界投影方法在曲面上產生網格。簡單的說，土木工程需要懂的網格生成技術，就是①2D Mesh和②曲面方程式求平面座標對應的Ｚ座標。若網格做的不漂亮，就要做Refinement，可以用Smoothing的技術，就是挑一個來用，然後試著改好一點。我的碩士論文在做插點，就是仍使用Delaunay Criteria，而不是使用Smoothing的技術，因為我以插點學習問題的癥結點。插點就是所謂的灑點方法，和Smoothing有一點關係，但不是Smoothing的基本觀念。因而，做Refinement可以直接跳去Smoothing，但做過Mesh的人幾乎都有做過插點。Boris Delaunay（Wikipedia）是一個數學家，在1934年發現了3點定圓的唯一性，也就是所謂的Delaunay Criteria，並和Voronoi Diagram有幾何互換性。怎麼做Delaunay Criteria呢？
幾何邊界當成一堆點，以迴圈的方式讓所有的點，不斷地以Delaunay Criteria計算。找3個點定一個圓，而圓內沒有其他點，這3個點就是一個三角形；找3個點定一個圓，而圓內有其他點，這3個點就不是一個三角形；找3個點定一個圓，而圓內沒有其他點，但是圓上有其他點，你要決定圓上的點算誰的。在Delaunay Criteria跑完幾何邊界後，就會變成一堆都是唯一的三角形了。但是，Delaunay Criteria有個問題，就是跑出來的一堆三角形，畫出來一定是一個凸殼（Convex Hull），就是一個凸的多邊形。然而，原來的幾何邊界不一定是凸殼，所以要用一條射線在三角形內往外射出，然後算有幾條線有交叉到，就是在算幾何的intersection，也就是幾何計算的代公式問題。射線就是用一個方程式，去描述這個有方向的線，算是沒什麼難度的問題。在確認射線有幾次intersection後，就會知道某三角形在幾何邊界裡面或外面，不是在幾何邊界裡面的三角形都要刪掉。經刪除留下來的三角形，要檢查三個角的角度了。所謂的不好的角度，就是小於30度和大於120度，這兩個數字可以算一下。
也就是三角形內角和是180度，要是知道一個角要是30度以下，就會自動對應到大於120度，所以這兩個角度不需要死背。在有限元素法裡，有一個叫Jacobian Matrix（Wikipedia）的角度轉換矩陣，會使用到sin和cos的角度計算，也就是有限元素分析精度的關鍵點。在這種偏小或偏大的角度下，會對於結構分析的精度影響偏大，所以才會以這兩個角度當標準。雖然，此一解釋算是Common Sense，搞數學式是很有學問，就是sin和cos的轉換矩陣，不過我還是提出來讓有興趣的人知道。於是，要開始把新的點給個座標，一個一個插進不好的三角形裡，就是所謂的插點或灑點方法了。若是要插點的話，要怎麼插點呢？首先，要先找出和插進去的點有關的三角形，就是這些三角形都不算了，必須都要重來變成受這個點影響，以Delaunay Criteria重新產生的新三角形。然而，在插點的過程就會訂一個檢查角度，一般都是找最小角度來檢查，也就是我剛剛提到的30度。但是，有些地方就是角度比30度小，這種有問題的角度就叫做Small Angle，必須要刻意的忽略掉這些Small Angle。
我認為，插點就是在Effective Region內，找一個幾何上最好的點插進去，其實就是Smoothing的一個類似概念。我打算做Smoothing時，那時約在2004年2月底，我的指導教授（陳俊杉教授）要我開始寫了。我當時的英文寫的沒那麼快，不像現在天天可以寫長篇大論的英文，所以寫的算是很吃力。我寫了快2個月時，又改起了插點方法，後來想說提點3D Mesh的Sliver問題好了。不過，我的指導教授似乎覺得，我要是提了3D Mesh的話，會讓人感到有種沒做完的感覺。因此，我的指導教授當時似乎不是很認同，搞到後來我打算把這個部份做個收尾，又繼續地搞起我的插點方法了。Smoothing不是在插點，而我的觀念是把Smoothing拿來插點，但我實際上並沒有這樣嘗試過。嚴格來說，Smoothing已經相當成熟，雖然可以直接使用來改善Quality，但是插點的優勢就是三角形數量很少，符合有限元素分析的網格生成原則，也就是幾何變化多就三角形稠密，而幾何變化少就三角形稀疏的特性。我不是要直接做Smoothing，而是拿Smoothing的技巧來插點。
我提了一個插點方法，還有一個叫Effective Region的概念，以上就是我的碩士論文範圍。本篇全部的說明內容，就是我十年前的碩士學位答辯。或許，在三小時的答辯過程有不少廢話，但是都有確實的講到重點。我的碩士論文，可以投稿１篇國際期刊論文，但是我打算以學位論文的模式被引用。我的碩士論文指導教授，讓我修正了我原來的研究方法，並且提高了我的學術研究層次，採取攻讀博士學位模式做學術研究，算是對於我有重要影響的人物。
２００４／０７／１４
（１８：００－２１：００）
Reference
Surface Mesh可以產生任意曲面的網格，而土木上會用到的曲面網格生成，是專門就混凝土結構的曲面幾何問題。混凝土結構的曲面幾何，必然有比較多的幾何連續性限制，不一定要使用Surface Mesh的技術，而是在幾何連續性限制的條件下，以幾何邊界投影方法在曲面上產生網格。簡單的說，土木工程需要懂的網格生成技術，就是①2D Mesh和②曲面方程式求平面座標對應的Ｚ座標。若網格做的不漂亮，就要做Refinement，可以用Smoothing的技術，就是挑一個來用，然後試著改好一點。我的碩士論文在做插點，就是仍使用Delaunay Criteria，而不是使用Smoothing的技術，因為我以插點學習問題的癥結點。插點就是所謂的灑點方法，和Smoothing有一點關係，但不是Smoothing的基本觀念。因而，做Refinement可以直接跳去Smoothing，但做過Mesh的人幾乎都有做過插點。Boris Delaunay（Wikipedia）是一個數學家，在1934年發現了3點定圓的唯一性，也就是所謂的Delaunay Criteria，並和Voronoi Diagram有幾何互換性。怎麼做Delaunay Criteria呢？
幾何邊界當成一堆點，以迴圈的方式讓所有的點，不斷地以Delaunay Criteria計算。找3個點定一個圓，而圓內沒有其他點，這3個點就是一個三角形；找3個點定一個圓，而圓內有其他點，這3個點就不是一個三角形；找3個點定一個圓，而圓內沒有其他點，但是圓上有其他點，你要決定圓上的點算誰的。在Delaunay Criteria跑完幾何邊界後，就會變成一堆都是唯一的三角形了。但是，Delaunay Criteria有個問題，就是跑出來的一堆三角形，畫出來一定是一個凸殼（Convex Hull），就是一個凸的多邊形。然而，原來的幾何邊界不一定是凸殼，所以要用一條射線在三角形內往外射出，然後算有幾條線有交叉到，就是在算幾何的intersection，也就是幾何計算的代公式問題。射線就是用一個方程式，去描述這個有方向的線，算是沒什麼難度的問題。在確認射線有幾次intersection後，就會知道某三角形在幾何邊界裡面或外面，不是在幾何邊界裡面的三角形都要刪掉。經刪除留下來的三角形，要檢查三個角的角度了。所謂的不好的角度，就是小於30度和大於120度，這兩個數字可以算一下。
也就是三角形內角和是180度，要是知道一個角要是30度以下，就會自動對應到大於120度，所以這兩個角度不需要死背。在有限元素法裡，有一個叫Jacobian Matrix（Wikipedia）的角度轉換矩陣，會使用到sin和cos的角度計算，也就是有限元素分析精度的關鍵點。在這種偏小或偏大的角度下，會對於結構分析的精度影響偏大，所以才會以這兩個角度當標準。雖然，此一解釋算是Common Sense，搞數學式是很有學問，就是sin和cos的轉換矩陣，不過我還是提出來讓有興趣的人知道。於是，要開始把新的點給個座標，一個一個插進不好的三角形裡，就是所謂的插點或灑點方法了。若是要插點的話，要怎麼插點呢？首先，要先找出和插進去的點有關的三角形，就是這些三角形都不算了，必須都要重來變成受這個點影響，以Delaunay Criteria重新產生的新三角形。然而，在插點的過程就會訂一個檢查角度，一般都是找最小角度來檢查，也就是我剛剛提到的30度。但是，有些地方就是角度比30度小，這種有問題的角度就叫做Small Angle，必須要刻意的忽略掉這些Small Angle。
我認為，插點就是在Effective Region內，找一個幾何上最好的點插進去，其實就是Smoothing的一個類似概念。我打算做Smoothing時，那時約在2004年2月底，我的指導教授（陳俊杉教授）要我開始寫了。我當時的英文寫的沒那麼快，不像現在天天可以寫長篇大論的英文，所以寫的算是很吃力。我寫了快2個月時，又改起了插點方法，後來想說提點3D Mesh的Sliver問題好了。不過，我的指導教授似乎覺得，我要是提了3D Mesh的話，會讓人感到有種沒做完的感覺。因此，我的指導教授當時似乎不是很認同，搞到後來我打算把這個部份做個收尾，又繼續地搞起我的插點方法了。Smoothing不是在插點，而我的觀念是把Smoothing拿來插點，但我實際上並沒有這樣嘗試過。嚴格來說，Smoothing已經相當成熟，雖然可以直接使用來改善Quality，但是插點的優勢就是三角形數量很少，符合有限元素分析的網格生成原則，也就是幾何變化多就三角形稠密，而幾何變化少就三角形稀疏的特性。我不是要直接做Smoothing，而是拿Smoothing的技巧來插點。
我提了一個插點方法，還有一個叫Effective Region的概念，以上就是我的碩士論文範圍。本篇全部的說明內容，就是我十年前的碩士學位答辯。或許，在三小時的答辯過程有不少廢話，但是都有確實的講到重點。我的碩士論文，可以投稿１篇國際期刊論文，但是我打算以學位論文的模式被引用。我的碩士論文指導教授，讓我修正了我原來的研究方法，並且提高了我的學術研究層次，採取攻讀博士學位模式做學術研究，算是對於我有重要影響的人物。
（１８：００－２１：００）
Reference
- Wikipedia, Boris Delaunay, http://en.wikipedia.org/wiki/Boris_Delaunay
- Wikipedia, Jacobian matrix and determinant, http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant
